高考卷,普通高等学校招生考试江西,文科数学
2007年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 文科数学 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页,第II卷3至4页,共150分. 第I卷 考生注意:
1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作答,答案无效. 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回. 参考公式:
如果事件互斥,那么 球的表面积公式 如果事件相互独立,那么 其中表示球的半径 球的体积公式 如果事件在一次试验中发的概率是,那么 次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.若集合,,则为( ) A. B. C. D. 解析:=,选B. 2.函数的最小正周期为( ) A. B. C. D. 解析:选B. 3.函数的定义域为( ) A. B. C. D. 解析:选A. 4.若,,则等于( ) A. B. C. D. 解析:
所以选D. 5.设, 则的值为( ) A. B. C. D. 解析:令=1,右边为;
左边把代入 ,选A. 6.一袋中装有大小相同,编号分别为的八个球,从中有放回地每次取一个球,共取2次,则取得两个球的编号和不小于15的概率为( ) A. B. C. D. 解析:从中有放回地取2次,所取号码共有8*8=64种,其中和不小于15的有3种, 分别是(7,8),(8,7),(8,8),故所求概率为选D. 7.连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点, 设点为坐标原点,则三角形的面积为( ) A. B. C. D. 解析:线段所在直线方程与抛物线交于则:
,选B. 8.若,则下列命题正确的是( ) A. B. C. D. 解析:显然A、C、D不正确,选B. 9.四面体的外接球球心在上,且,, 在外接球面上两点间的球面距离是( ) A. B. C. D. 解析:由球心在上,且,得球的半径R=1, 选C. 10.设在内单调递增,, 则是的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:在内单调递增,则在上恒成立。
;
反之,, 在内单调递增,选C. 11.四位好朋友在一次聚会上,他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示. 盛满酒后他们约定:先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为,,,,则它们的大小关系正确的是( ) A. B. C. D. 解析:观察图形可知体积减少一半后,下部越细剩余酒的高度越高, 最高为,最低为,应有. 选A. 12.设椭圆的离心率为,右焦点为, 方程的两个实根分别为和,则点( ) A.必在圆上 B.必在圆外 C.必在圆内 D.以上三种情形都有可能 解析:由=得a=2c,b=,所以, 所以点到圆心(0,0)的距离为 , 所以点P在圆内,选C. 第II卷 注意事项:
第II卷2页,须要黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试卷题上作答, 答案无效. 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.请把答案填在答题卡上. 13.在平面直角坐标系中,正方形的对角线的两端点 分别为,,则 . 解析:
14.已知等差数列的前项和为,若,则 . 解析:由题意得 15.已知函数存在反函数,若函数的图象经过点,则函数的图象必经过点 . 解析:若函数的图象经过点,则有 所以函数的图象必经过点. 16.如图,正方体的棱长为1,过点A作平面的垂线,垂足为点. 有下列四个命题 A.点是的垂心 B.垂直平面 C.二面角的正切值为 D.点到平面的距离为 其中真命题的代号是 .(写出所有真命题的代号) 解析:因为三棱锥A—是正三棱锥,故顶点A在底面的射映是底面中心,A正确;
面∥面,而AH垂直平面,所以AH垂直平面,B正确;
连接即为二面角的平面角, C正确; 对于D, 连接面,故点是 的三等分点,故点到平面的距离为从而D错. 则应填A,B,C. 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 已知函数满足. (1)求常数的值;
(2)解不等式. 解:(1)因为,所以;
由,即,. (2)由(1)得 由得, 当时,解得, 当时,解得, 所以的解集为. 18.(本小题满分12分) 如图,函数的图象与轴相交于点, 且该函数的最小正周期为. (1)求和的值;
(2)已知点,点是该函数图象上一点,点 是的中点,当,时,求的值. 解:(1)将,代入函数中得, 因为,所以. 由已知,且,得. (2)因为点,是的中点,. 所以点的坐标为. 又因为点在的图象上,且,所以, ,从而得或, 即或. 19.(本小题满分12分) 栽培甲、乙两种果树,先要培育成苗,然后再进行移栽.已知甲、乙两种果树成苗 的概率分别为,,移栽后成活的概率分别为,. (1)求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率;
(2)求恰好有一种果树能培育成苗且移栽成活的概率. 解:分别记甲、乙两种果树成苗为事件,;
分别记甲、乙两种果树苗移栽成活 为事件,,,,,. (1)甲、乙两种果树至少有一种成苗的概率为 ;
(2)解法一:分别记两种果树培育成苗且移栽成活为事件, 则,. 恰好有一种果树培育成苗且移栽成活的概率为 . 解法二:恰好有一种果树栽培成活的概率为 . 20.(本小题满分12分) 右图是一个直三棱柱(以为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为.已知,,,,. (1)设点是的中点,证明:平面;
(2)求与平面所成的角的大小;
(3)求此几何体的体积. 解法一:
(1)证明:作交于,连. 则, 因为是的中点, 所以. 则是平行四边形,因此有, 平面,且平面 则面. (2)解:如图,过作截面面,分别交,于,, 作于, 因为平面平面,则面. 连结,则就是与面所成的角. 因为,,所以. 与面所成的角为. (3)因为,所以. . . 所求几何体的体积为. 解法二:
(1)证明:如图,以为原点建立空间直角坐标系,则,,,因为是的中点,所以, , 易知,是平面的一个法向量. 由且平面知平面. (2)设与面所成的角为. 求得,. 设是平面的一个法向量,则由得, 取得:. 又因为 所以,,则. 所以与面所成的角为. (3)同解法一 21.(本小题满分12分) 设为等比数列,,. (1)求最小的自然数,使;
(2)求和:. 解:(1)由已知条件得, 因为,所以,使成立的最小自然数. (2)因为,…………① ,…………② 得:
。
所以. 22.(本小题满分14分) 设动点到点和的距离分别为和,,且存在常数,使得. (1)证明:动点的轨迹为双曲线,并求出的方程;
(2)如图,过点的直线与双曲线的右支 交于 两点.问:是否存在,使 是以点为直角顶点的等腰直角三角形? 若存在,求出的值;
若不存在,说明理由. 解:(1)在中, (小于的常数) 故动点的轨迹是以,为焦点,实轴长的双曲线. 方程为. (2)方法一:在中,设,,,. 假设为等腰直角三角形,则 由②与③得, 则 由⑤得, ,, 故存在满足题设条件. 方法二:(1)设为等腰直角三角形,依题设可得 所以,. 则.① 由,可设, 则,. 则.② 由①②得.③ 根据双曲线定义可得,. 平方得:.④ 由③④消去可解得, 故存在满足题设条件.