3.3,直线的交点坐标与距离公式

3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点坐标 一、教学目标 1. 知识与技能 会求利用二元一次方程组的解的情况来判断直线和直线是否相交，并能熟练地求出交点. 2. 过程和方法 1）经历两直线交点坐标的求法，会初步判断两直线位置关系：相交或平行. 2）学会用代数方程的解来研究平面中两条直线的位置关系. 3. 情感、态度和价值观 感受用代数方法研究几何问题的方便,增强学习解析几何学的信心. 二、教学重点，难点 重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。

难点：两直线相交与二元一次方程的关系。

三、教学方法 启发引导式 四、教学教具 多媒体投影仪 五、教学过程 （一）创设情境，导入新课 用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。

设问1：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？ （二） 师生互动，探究新知 思考：已知两直线l1：A1x+B1y +C1=0, l2：
A2x+B2y+C2=0，如何判断这两条直线的关系？ 教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。

几何元素及关系 代数表示 点A A（a，b） 直线l l：Ax+By+C=0 点A在直线上 直线l1与l2的交点A 设问2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？ 学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？ （1） 若二元一次方程组有唯一解，l1与l2 相交。

（2） 若二元一次方程组无解，则l1与l2平行。

（3） 若二元一次方程组有无数解，则l1 与l2重合。

课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？ （三）概念辨析，巩固提高 例1：求下列两直线交点坐标 l1 ：3x+4y-2=0 l2 ：2x+y +2=0 解：解方程组 得 x=-2，y=2 所以，l1与l2 的交点坐标为M（-2，2）， 例2 判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。

（1） l1：x-y=0，l2：3x+3y-10=0 （2） l1：3x-y=0，l2：6x-2y=0 （3） l1：3x+4y-5=0，l2：6x+8y-10=0 这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。

设问3: 当变化时，方程 3x+4y-2+（2x+y+2）=0表示何图形，图形有何特点？求出图形的交点坐标。

（1） 可以一用信息技术，当 取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点。

（2） 找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论。

（3） 结论，方程表示经过这两条直线l1与l2的交点且除直线：2x+y+2=0的所有直线的集合。

（四）小结 1. 求两条直线的交点坐标 2. 任意两条直线可能只有一个公共点，也可能没有公共点（平行） 3. 任意给两个直线方程，其对应的方程组得解有三种可能可能：
1）有惟一解 2）无解 3）无数多解 4. 直线族方程的应用 （五）作业 P109 习题3.3A组：1，3，5. P110 习题3.3B组：1. 3.3.2两点间的距离 一、教学目标 1.知识与技能 掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。

2. 过程和方法 通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。

3.情感、态度和价值观 体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题 二、教学重点，难点：
重点:两点间距离公式的推导. 难点:应用两点间距离公式证明几何问题。

三、教学方法 启发引导式。

四、教学用具 用多媒体辅助教学。

五、教学过程：
（一）创设情景，导入新课 设问1：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题. 已知平面上两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，如何求点P1和P2间的距离|P1P2|？ (二)师生互动，探究新知 在平面直角坐标系中两点，分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为直线相交于点Q. 在直角DABC中，，为了计算其长度，过点向x轴作垂线，垂足为 过点 向y轴作垂线，垂足为 ，于是有 所以，=。

由此得到两点间的距离公式 在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。

(三)概念辨析，巩固提高. 例1 ：以知点A（-1，2），B（2， ），在x轴上求一点，使 ,并求 的值。

解：设所求点P（x，0），于是有 由 得 解得 x=1. 所以，所求点P（1，0）且 例2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。

这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。

证明：如图所示，以顶点Ａ为坐标原点，ＡＢ边所在的直线为ｘ轴，建立直角坐标系，有Ａ（０，０）。

设Ｂ（ａ，０），Ｄ（ｂ，ｃ），由平行四边形的性质的点Ｃ的坐标为（ａ＋ｂ，ｃ），因为 所以， 所以， 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：
第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。

第二步：进行有关代数运算。

第三步；
把代数结果“翻译”成几何关系。

思考：同学们是否还有其它的解决办法？ 还可用综合几何的方法证明这道题。

(四)小结 主要讲述了两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角坐标系的重要性。

（五）作业 P106练习：1，2. P110习题3.3 A组：6，7，8. 3.3.3 --3.3.4点到直线的距离、两条平行直线间的距离 一、教学目标：
1.知识与技能：
1）理解点到直线距离公式的推导， 2）熟练掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间距离；
 2.过程与方法 经历两点间距离公式的推导过程，会用点到直线距离公式求解两平行线距离 3.情感、态度与价值观：
认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题 二、教学重点、难点 重点：点到直线的距离公式. 难点：点到直线距离公式的理解与应用. 三、教学方法：
学导式 四、教学用具 三角板、多媒体投影仪 五、教学过程   （一）创设情境，导入新课 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法 .这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离。

用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。要求学生思考一点到直线的距离计算？能否用两点间距离公式进行推导？ （二） 师生互动，探究新知 1．点到直线距离公式及其推导：
点到直线的距离为：
（1）提出问题 在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为，直线方程中A＝0或B＝0时，，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢? 学生可自由讨论。

（2）数行结合，分析问题，提出解决方案 学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线的距离d是点P到直线的垂线段的长. 这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为 一个曾经解决过的问题，一个自己熟悉的问题。

画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。

方案一：
设点P到直线的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥可知，直线PQ的斜率为（A≠0），根据点斜式写出直线PQ的方程，并由与PQ的方程求出点Q的坐标；
由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线的距离为d 此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法 方案二：设A≠0，B≠0，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点；
作轴的平行线，交于点， 由得. 所以，｜PＲ｜＝｜｜＝ ｜PS｜＝｜｜＝ ｜ＲS｜＝×｜｜ 由三角形面积公式可知：·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜ 所以 可证明，当A=0时仍适用 （三）公式识别，巩固提高. 例1 求点P=（-1，2）到直线 3x=2的距离。

解：d= 例2 已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的面积。

解：设AB边上的高为h，则 S= ， AB边上的高h就是点C到AB的距离. AB边所在直线方程为 即x+y-4=0。

点C到X+Y-4=0的距离为h=， 因此，S= 通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。

例3 求两平行线：，：的距离. 解法1：在直线上取一点P(４，0)， 因为∥，所以点P到的距离等于与的距离.于是 新问题：平行直线间距离如何求？。

已知两条平行线直线和的一般式方程为：， ：，则与的距离为 证明：设是直线上任一点，则点P0到直线 的距离为 又 即，∴d＝ 上述例3的解法2：∥又. 由两平行线间的距离公式得 （四）小结 点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式 （五）作业 P110习题3.3 A组：8,9. 10. B组：2, 3，4，6，9 求两直线的交点，通常情况下解由两直线方程组 成的方程组即可.若已知交点坐标求直线方程中的变 量，直接代入交点坐标即可. 例1、若直线与直线的交点位于第一象限,求直线的倾斜角的取值范围. 方法2、解决与距离有关问题的方 解决与距离有关问题的求解步骤如下：
(1) 根据条件画图. (2) 化直线方程为一般式. (3) 运用距离公式建立关系式. 例2、 过点引直线，使 、到它的距离相等，求这条直线的方程 方法3、直线恒过定点问题的解法 解决过定点问题常用的方法：(1)特殊值法：给方程的参数取两个特殊值，可得关于的两个方程，从 中解出的的值即为所求定点的坐标.(2)点斜式 法:将含参数的直线方程写成点斜式， 则直线必过定点(，).(3)分离参数法:将含参数 的直线方程整理为过交点的直线系方程：
的形式，则该方程表不的直线必 过直线 和 的交点，而此交点就是定点. 例3、求证:无论为何实数，直线都恒过一定点. 方法4、求点关于点对称的点的方法 求点关于点的对称点的问题，主要依据人是线段的中点来求解. 设，对称中心为，则关于的对称点为 . 例4、求点关于点的对称点的坐标. 方法5、求点关于直线对称的点的方法 设点关于直线的对称点为, 则由 可求出 特别地，点关于直线的对称点为：点关于直线的对称点为 点 对称轴 对称点坐标 轴 轴 几种特殊位的对称: 例5、 已知直线：,点.求点关于直线的对称点的坐标. 方法6、求直线关于点对称的直线的方法 求直线关于点的对称直线的问题, 主要依据上的任一点关于的对称 点 在上来求解. 例6、已知直线：,点,求 直线关于点对称的直线的方程. 方法7、求直线关于直线对称的直线的方法 曲线关于直线的对称曲线的求法: 设曲线上任意一点为，点关于直线的对称点为，则与的 坐标满足 从而解出、，代人已知曲线,应有.利用坐标代换法 就可求出曲线关于直线对称的曲线方程. 注：（1）曲线关于直线的对称曲线的方程为，关于直线的 对称曲线的方程为. 以上这种方法用来解填空题、选择题特别有效，应 加以理解与记忆,其规律是当对称轴的斜率为1或时，将中的代入对称轴方程的位置，解出的是对称点的纵坐标，将点的纵坐标代入对称轴方程的位置，解出的是对称点的横坐标. （2）设直线 为 ①关于轴对称的直线是；

②关于轴对称的直线是；

③关于直线对称的直线是；

④关于直线对称的直线是. 例7、已知直线,直线.若直线关于直线的对称直线为,求直线的方程