在比对自悟中提高立体几何的复习效率
摘要：从平面到空间、从二维到三维、从具体到抽象是高中立体几何的显著特征，也是中学数学的一个重要转折点.纵观历年立体几何的考查点，高考试题始终离不开“平行和垂直”.这两个核心也成了不少学生绕不过的坎.前不久，教育部考试中心权威发布：“2019年高考数学：逻辑推理能力要比刷更多题重要！”为此，这给许多教育工作者指明方向，以“提高学生的逻辑推理能力”的教学任重而道远，笔者尝试用比对自悟的方法提高立体几何的复习效率，从而突显学生的逻辑推理能力.
关键词：立体几何教学;比对自悟;逻辑推理能力
从教育部考试中心权威发布了解到，“2019年高考数学将把考查逻辑推理能力作为重要任务，以数学知识为载体，考查学生缜密思维严格推理的能力”.诚然，立体几何是高中数学重点内容之一.平行、垂直又是高中立体几何的核心部分，一直是培养学生逻辑推理能力的最佳载体，一直是高考考查的热点，因此，为了让学生更好地、更全面地学好立体几何，笔者用比对自悟的方法提高立体几何的复习效率.仅供参考.
1 比对知识块，自悟知识间的联系
串接其实就是将不同的知识块通过类比、联想找出各部分之间的相同点和不同点，从而形成一个知识网络图，达到对知识的熟练掌握.当前，许多教师在复习立体几何时常常给学生单独讲平行关系（或垂直关系），学生难于记住、记准、记牢！能否找到一种让学生更好记住定理的方法呢？笔者认为教师如果能够给学生提供一个平行、垂直的对比图，就会发现各知识之间有许多相同或相似的地方，学生就会更加容易理解记忆，从而彰显逻辑推理能力.
下面是有关平行、垂直的判定定理和性质定理的对比图（如图1所示）.
平行、垂直判定定理对比图说明：
（1）题目的求证部分通常选用平行、垂直的判定定理;
（2）找平行线（或垂线）的问题都要注明线面的位置关系（线在平面内）;
（3）找出2条直线必须相交，需要注明线线的位置关系（线线相交）;
（4）凡涉及面面問题时，通常选取其中一个面做尝试.
平行、垂直性质定理对比图说明：
（1）题目的已知部分通常用到平行、垂直的性质定理;
（2）性质定理通常要找一条交线，且交线一定要注明哪个面与哪个面相交.
2 比对简单操作，自悟知识的内化
美国行为主义心理学家斯金纳认为，“人类行为主要是由操作性反射构成的操作性行为，操作性行为是作用于环境而产生结果的行为.在学习情境中，操作性行为更有代表性”.为此，在课堂教学中，用操作性的行为代替其它学习方式，这样的学习来得更持久、更有效.
由于学生性别差异或者受初中平面几何的影响，所以有不少学生分辨不出立体图形的点、线、面的位置，学生学起来比较困难.这一状况困扰学生，使得他们讨厌数学，甚至恐惧数学.为此，作为教育工作者，能否找到一种更好的办法让学生得以轻松解决？笔者认为给学生比对自悟时间，教会学生一种简单操作的方法，逐级寻找条件，直到找到适合结论所需的条件为止.
下面是笔者教给学生简单操作的步骤：
（1）首先学生熟悉平行、垂直的判定定理及性质定理，做一个对比图;
（2）平行：从题目的结论出发，让学生拿起一支笔，放在图形中的某条直线上，然后慢慢地平移到某个平面（此时笔充当平行线），在该平面中找到与之匹配的平行线（若不存在，则需要作一条辅助线）; 垂直：让学生观察某平面，拿起一支笔，用笔尖尝试与该平面垂直（此时笔充当垂线），在原平面中找到与之匹配的垂线（若不存在，或作一条辅助线，或重新选择平面）;
（3）接着逐级寻找平行线（或垂线），直到在题目的已知条件中能找到为止（如图2所示）.
通过学生的简单操作，教师在全班同学中逐一检查，学生经过多次练习、检验，他们就有了一个初步的认识，他们的书写习惯就会有了较大的改变，成绩就会有较大的提高.
3 比对思维导图，突显解题的严谨
在解题教学中，题设各部分之间比较零碎，用思维导图串接起来，从而彰显解题的严谨性.在立体几何中，有关平行、垂直的问题常常是考查学生逻辑推理能力的最好体现，在学生作答卷面中常常出现这样那样的“添”“漏”现象，经常看到学生自己的“定理”，无中生有就是一个“乱”字.主要原因是学生对定理记不准、记不牢！解决这一问题，教师必须教会学生一个解题的思维导图，逐级而上寻找条件，直到在题设条件中找到所需的条件，最后倒着顺序书写即可.
例1（2017年高考山东卷文18）由四棱柱AB-CD -A1B1ClDi截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图3所示，四边形ABCD为正方形，0为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.
（1）证明：A1O//平面B1CDi;
（2）设M是OD的中点，证明：平面A1EM上平面B1CDl.
分析（1）要证明A1O//平面B1 CD1，首先应考虑到线与面平行的判定定理.用框图形式在黑板中展示给学生（如图4所示），同时规范学生的解题步骤.根据线面平行的判定定理，则需在面B1CD1上找一条平行线，让学生用笔放在直线AiO上，平移到平面B1CD1中，在平面B1CD1内找到所需的直线.
（2）要证面A1EM⊥面B1CD1，应考虑到面与面垂直的判定定理.首先选取其中一个平面，在该平面上找垂线.不妨选择平面A1EM，用笔作垂线试图找到线BD，发现BD//B1D1，从而找到垂线B1D1，接着要证BD⊥面A1EM，为满足线面垂直的条件，在面A1EM上找两条相交直线EM和AE，在题设已知条件中检验是否找到相对应条件.
下面以本题中第（2）问的导学思维图为例：
解（1）略.（2）如图5，因为AC⊥BD，E、M分别为AD和OD的中点，所以EM ⊥BD.
因为ABCD为正方形，所以AO上BD.
又因为A1E⊥平面ABCD，BDc平面ABCD，所以AiE上BD.因为B1Dl//BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1.
又因为A1E，EMC平面A1EM，A1E∩ EM=E，
所以B1D1上平面A1EM.
又B1D1 c平面B1CD1，所以平面A1EM上平面B1 CD1.
学生能够利用思维导图，就会有效地减少学生的“跳步、漏步”现象，学生的数学思维就会更加严谨，从而提高学生的逻辑思维能力.
总之，不管是学习还是教学只要师生用心去体会、去尝试，用比对反复理解定理，用操作融入思辨，用导图追寻条件，这样立体几何中有关平行、垂直问题就会迎刃而解.
