三年级下册数学试题-春季培优：第3讲,智巧趣题（解析版）全国通用

第三讲 智巧趣题 知识要点：
智巧问题是有趣的一类问题，它有时可能并不需要你复杂的计算，而是通过我们的灵感、技巧和巧妙的构思来解决问题。这就要求我们要细心，善于观察，综合考虑各种情况，并要充分利用学到的知识来解决问题。

一、基础应用：
【例1】 下图中，两只母鸡正在盘算着，要使每行、每列、每斜行中的鸡蛋不超过2 个。他们最多能在这蛋格子里下多少个蛋？蛋格子中已经下好了2 个蛋。

【解析】最多8 个。如上右图为一种下法。

【例2】 有一根粗心不均匀的绳子，如果从一端把它点燃，这根绳子能燃烧2 个小时。但由于绳子粗细不均匀，所以不能确定它燃烧到绳子中点需要多长时间。但现在想用这根绳子来确定1个小时的时间，应该怎么做？ 【解析】同时点燃绳子的两端，1小时后这根绳子刚好烧完。

【例3】 妈妈拿来5 盒完全一样的小球，并对小雨说：“这5 盒小球看上去是一样的， 每盒都是5 只，可是其中有一盒是次品，它里面的小球每只都轻一克，你能不能只用秤称一次，把次品的那一盒找出来。小雨想了半天也找不到方法。小朋友动动你的脑筋，帮帮小雨，好吗？ 【解析】 从5 盒小球中各取1只、2 只、3 只、4 只和5 只放在一起称，看他们的重量比标准重量轻多少克。如果轻1克，那么拿出一只小球的那盒是次品，如果轻2 克，那么拿出2 只小球的那盒是次品，……，依次类推，就能找到答案了。

【例4】 一个卖酒的老板要招聘两名伙计，它给前来面试的人两个瓶子，一个是 5 升的瓶子，一个是 7 升的瓶子，还有一大缸酒，要求他们盛出 4 升的酒。这下难倒了很多前来应聘的人。小朋友你会吗？（注：瓶子不带刻度） 【解析】可以。将 7 升的瓶子装满，然后往 5 升的空瓶子里面装。5 升的瓶子满了， 将其清空，把 7 升瓶子里面余下的酒再倒入 5 升的瓶子，再将 7 升的瓶子装满，依次重复前面的操作。如下为一种倒法：（注：倒法不唯一） 原来 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 第 6 次 5 升 0 0 5 0 2 2 5 7 升 0 7 2 2 0 7 4 发现操作到第六次时，7 升的瓶子里刚好盛的是 4 升的酒。

再继续倒下去，你会发现，其实不仅仅是可以倒出 4 升的酒，1～7 升的酒都能盛的出来。

第7 次 第 8 次 第9 次 第10 次 第11 次 第12 次 第13 次 第14 次 第15 次 第16 次 5 升 0 4 4 5 0 5 0 1 1 5 7 升 4 0 7 6 6 1 1 0 7 3 二、拓展训练：
【例5】 售货员把31个乒乓球分装在5 个盒子里，使得只要顾客所买的乒乓球个数小于32 ，他总可以恰好把其中的一盒或几盒卖出，而不必拆盒。问这5 个盒子里分别装着多少个乒乓球？ 【解析】要表示出 1，至少要有 1 盒装着 1 个乒乓球；
要表示出 2，可以有一盒装着 2 个乒乓球，这两盒最多只能表示到 3；
要表示出 4，此时应有一盒装着 4 个乒乓球，现在这三盒最多可以表示到 7；
要表示出 8，应有一盒装着 8 个乒乓球，现在这四盒最多可以表示到 15；
要表示 16，则应有一盒装着 16 个乒乓球，这时 1～31 中的数用 1,2,4,8,16 这 5 个数中的一个或若干个数的和均能表示的出来。故这 5 个盒子里分别装着 1 个，2 个，4 个，8 个，16 个乒乓球。

【例6】 开学了，老师有一叠本子正好是90 本。要求小红把这些本子分成6 份，要1份比1份多2 本。小红把64 本本子分来分去，怎么也分不好。小朋友，你说应该怎么分？每一份各是几本？ 【解析】六个数构成一个等差数列，公差为2 。中间相邻的两个数的和为 90 ¸（6 ¸ 2）= 30 大数：（30 + 2）¸ 2 = 16 （本）， 小数：
30 -16 = 14 （本）， 6 份应该是这样分的：10 本、12 本、14 本、16 本、18 本、20 本。

【例7】 9 只青蛙围在一口圆形的水井边，沿顺时针方向编上号码1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ， 8 , 9 。然后按顺时针方向，每隔一只蛙跳下水一只，例如：如果第一只跳下 水的是1号，那么后面依次跳下水的为3 号、5 号、……，直到最后剩下一只 蛙为止。如果最后剩下的是9 号蛙，那么第一只跳下水的蛙是几号？ 【解析】假设第一只跳下水的蛙是1号，则往后依次跳下水中的青蛙是 3 , 5 , 7 , 9 , 4 , 8 , 6 , 2 ，最后剩下了2 号蛙。由此可知，最后剩下的青蛙是最开始与 第一只跳水的青蛙紧挨着沿顺时针方向的那只，如果最后剩下的是9 号蛙，则第一只跳下水的蛙应该是8 号。

【例8】 有一颗棋子放在下图中的1号位置上，现按顺时针方向，第一次跳一步，跳到2 号位置；
第二次跳两步，跳到4 号位置；
第三次跳三步，跳到到7 号位置……， 这样一直进行下去。棋子永远跳不到的位置是几号？ 【解析】第一次在2 号，第二次在4 号，第三次在7 号，第四次在4 号，第五次在2 号， 第六次在1号，第七次在1号，第八次在2 号，第九次在4 号，出现周期，即从第八次开始跳到的位置又是重复前面的第一次至第六次的位置。故永远跳不到的位置 是3 号、5 号和6 号。

【例9】 有100 个棋子，两人轮流取棋子，每次允许取其中的 1 个或 2 个，谁最后把棋子取完就算获胜。如果你先取，那么第一次你取多少个，才能保证获胜？ 【解析】100 ¸（1 + 2）= 33LL1，先取1个，使棋子变为99 个，然后采取如下策略：若对手取2 个，则取1个；
若对手取1个，则取2 个。则每次都能使棋子变为3 的倍数。于是后者永远面对3 的倍数，只能将其变为一个不是3 的倍数的数，则后者无法使棋子变为0 ，先者胜。

【例10】 有分别装7 根和10 根的两盒火柴，甲、乙两人轮流在某一盒中任取，但不能同时在两盒中都取，也不能不取。规定取到最后火柴者为胜。问甲先取时是否有必胜的策略？ 【解析】甲要取胜，必须使两盒火柴相等。甲先从装有10 根火柴的盒中取走10 - 7 = 3 （根），使两盒火柴数相等。然后，乙从某一盒中取走多少根，甲就从另一盒中取走同样的根数，这样，乙始终面临两盒数量相等的火柴，甲必取到最后火柴，故甲必胜。

三、难题解析：
【例11】 甲、乙两人在玩一种纸牌游戏。纸牌上的点数为1, 2 , 3 ，……，10 ，每种点数各有4 张，开始时，两人各有20 张牌，每一轮两人各出1张牌，要求两张 牌的差等于5 ，经过若干轮后，乙还剩2 张牌，牌上的点数分别为4 和a ；
甲也还剩2 张牌，牌上的点数分别为7 和b 。此时，两人无法再按要求出牌，则a - b 的值为多少？ 【解析】10 个点数中差为5 的两个点数有如下5 种：
（1,6），（2,7），(3,8),(4,9),(5,10)。

而10 ´ 4 = 40（张）牌刚好可以凑出40 ¸ 2 = 20（组），前面的18 组都凑出来了，最后 剩下的4 张也是能组成2 组点数差为5 的数组。而甲和乙在玩时出现最后各剩两张不能 凑成点数差为5 ，这说明点数差为5 的两张牌刚好握在自己手里，即4 和9 握在乙手里， 7 和2 握在甲手里。故 a = 9 , b = 2 ,从而 a - b = 7 。

【例12】 一天，红太狼和灰太狼同时从“野猪林”出发，到“天堂镇”。红太狼一半路程溜达，一半路程奔跑，灰太狼一半时间溜达，一半时间奔跑。如果它们溜达的速度相同，奔跑的速度也相同，则先到“天堂镇”的是红太狼还是灰太狼呢？ 【解析】奔跑的速度大于溜达的速度。红太狼一半路程溜达，一半路程奔跑；
而灰太狼一半时间溜达，一半时间奔跑，则灰太狼一小半路程是溜达，一多半路程是奔跑的， 所以先到的是灰太狼。可画下图帮助我们理解：
溜达 奔跑 红太 灰太 四、巩固练习：
1. 妈妈给小明一个红色大盒子，里面装着6 个蓝色盒子，每个蓝色盒子里又装着4 个绿色盒子。请问小明总共有多少个盒子？ 【解析】 绿色盒子有6 ´ 4 = 24（个），蓝色盒子有6 个，红色盒子有1个，故小明共有盒子24 + 6 + 1 = 31（个）。

2. 数学兴趣小组活动时，老师出了这样一道题：“有2 箱鸭蛋，4 箱鸡蛋，放在一起。

6 箱装的个数各是44 个，48 个，50 个，52 个，57 个和64 个。只知道鸡蛋的个数 是鸭蛋个数的2 倍，你知道哪两箱装的是鸭蛋吗？”老师刚说完，聪明的王宁， 眼睛一眨就说出了答案。小朋友，你说说王宁是怎么想的？ 【解析】鸭蛋有 （44 + 48 + 50 + 52 + 57 + 64) ¸ (2 + 1) = 105 （个）， 而只有48 + 57 = 105 ，所以装鸭蛋的两箱分别是48 个和57 个。

3. 饮水桶里原来已经放了一些水，以后再往饮水桶里加水，都是前一次桶里的两倍， 加了3 次后，饮水桶里的水正好是81千克，那么原来饮水桶里有水多少千克？ 【解析】每加一次水，都变成原来的3 倍，还原回去，原有水81 ¸ 3 ¸ 3 ¸ 3 = 3（千克）。

4. 请用4 升和9 升的杯子倒出6 升的水？（注：杯子不带刻度） 【解析】如下为一种倒法：（注：倒法不唯一） 原来 第一 次 第二 次 第三 次 第四 次 第五 次 第六 次 第七 次 第八 次 4 升 0 0 4 0 4 0 1 1 4 9 升 0 9 5 5 1 1 0 9 6 5. 甲、乙、丙选手参加长跑比赛，起跑后甲处在第一位置，在整个比赛过程中，甲与乙、丙的位置次序交换了 7 次，那么比赛结果甲是第几名？ 【解析】我们可通过画如下的示意图来帮助理解：
…… …… 通过观察，我们发现甲交换奇数次都排在中间的位置，即第二名，甲交换偶数次， 则要么排在头，要么排在尾。而 7 是奇数，即甲交换奇数次，故甲排在第二名。

6. 甲、乙两人轮流从 82 粒棋子中取走 1 粒或 2 粒或 3 粒，取到最后一粒的就是胜利者，你认为先取者能获胜，还是后取者能获胜，应采取什么策略？ 【解析】因为82 ¸（3 + 1）= 20LL2 。故先取者先拿2 个，这样就会必胜。必胜的策略是：之后无论对方拿几粒，只要使自己拿的粒数与对方拿的粒数之和正好等于4 。这样先取者就能取到最后一粒。

7. 公路的一边等距离的排列着一些电线杆，小明沿着公路骑车，他从第一根电线杆到第10 根电线杆用了3 分钟。按照此速度，再过3 分钟小明可以骑到第几根电线杆？ 【解析】小明3 分钟骑了10 -1 = 9 （个）间隔，则再过3 分钟，小明又骑了9 个间隔， 即前后六分钟一共骑了9 ´ 2 = 18（个）间隔，此时小明骑到第1 + 18 = 19（根）电线杆。

8. 小刚把从1开始的自然数排成如下图，其中第一行只有一个数，接下来的每一行都比上一行多一个数。101出现在这个图中的第几行第几个？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …… 【解析】由于1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 91 ，而 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 105 ，而91 < 101 < 105 ，故101在第 14 行，而101 - 91 = 10 ，则101在第14 行的第10 个。